За друга значе?а, погледа?те страницу Топологи?а (вишезначна одредница).

百度 而之前将大蒜存入冷库储存的贸易商，现在一吨至少要赔上千元。

Топологи?а (од грчког τ?πo? ?место“ и λ?go? ?наука, зна?е, реч“) ?е грана математике ко?а проучава глобалне (геометри?ске) структуре и тополошке просторе. Топологи?а ?е ?една од на?мла?их грана математике, ко?а ?е надовезу?у?и се на математичку анализу и теори?у скупова, сво?им динамичним разво?ем током 20. века довела до реше?а неколико знача?них класичних математичких проблема.

Меби?усова трака ?е ?едан од об?еката ко?и се проучава?у у топологи?и. Она ?е об?екат ко?и нема одво?ену унутраш?у и спо?аш?у страну, ве? има само ?едну страну и ?едну ивицу. Модел Меби?усове траке се лако може направити тако што се узме папирна трака, и заротира се по дужини за 180°, а затим се кра?еви траке залепе.

Основни об?екат у топологи?и ?е тополошки простор, ко?и се дефинише као уре?ени пар (X, $\tau$) неког скупа X и подскупа ?еговог партитивног скупа у ознаци $\tau$.

Подела

Топологи?а се дели на:

1. општу топологи?у, ко?а се бави самим тополошким просторима
2. алгебарску топологи?у, у ко?о? се проучава?у тополошке инвари?анте, односно особине тополошких простора ко?е се не ме?а?у при непрекидним пресликава?има. У оквиру алгебарске топологи?е се налазе ?ош и

• геометри?ска топологи?а, ко?а проучава многострукости и
• диференци?ална топологи?а, ко?а проучава диференци?ална пресликава?а.

Мотиваци?а

Мотивира?у?и увид иза топологи?е ?е да неки геометри?ски проблеми не зависе од тачног облика ук?учених об?еката, ве? пре од начина на ко?и су спо?ени. На пример, квадрат и круг има?у многа за?едничка сво?ства: оба су ?еднодимензионални об?екти (са тополошке тачке гледишта) и оба раздва?а?у раван на два дела, део унутра и део спо?а.

У ?едном од првих радова из топологи?е, Леонхард О?лер ?е показао да ?е немогу?е прона?и руту кроз град Кенигсберг (данас Кали?инград) ко?а би тачно ?едном прешла сваки од ?егових седам мостова. Ова? резултат ни?е зависио од дужине мостова или од ?ихове уда?ености ?едан од другог, ве? само од сво?става повезива?а: ко?и мостови се повезу?у са ко?им острвима или обалама реке. Ова? проблем седам мостова Кенигсберга довео ?е до гране математике познате као теори?а графова.

Континуирана деформаци?а (врста хомеоморфизма) шо?е у крофну (торус) и краве (без otvora) у сферу

Слично, теорема четка?а ?ежа алгебарске топологи?е наводи да се ?не може рашчеш?ати коса на длакаво? лопти, а да се не створи чуперак“. Ова чи?еница ?е одмах убед?ива за ве?ину ?уди, мада они можда не препозна?у формални?у из?аву теореме, да на сфери не посто?и непрекидно тангентно векторско по?е. Као и код Кенигсбершких мостова, резултат не зависи од облика сфере; приме?у?е се на било ко?у врсту глатке грудве, све док нема рупа.

Да би се решили ови проблеми ко?и се не осла?а?у на тачан облик об?еката, мора бити ?асно на ко?а се сво?ства ови проблеми осла?а?у. Из ове потребе произилази по?ам хомеоморфизма. Немогу?ност преласка сваког моста само ?едном важи за било ко?и распоред мостова ко?и ?е хомеоморфан онима у Кенигсбергу, а теорема о длакаво? кугли важи за било ко?и простор хомеоморфан сфери.

Интуитивно, два простора су хомеоморфна ако се ?едан може деформисати у други без сече?а или леп?е?а. Традиционална шала ?е да тополог не може да разлику?е шо?у за кафу од крофне, ?ер се дово?но савит?ива крофна може преобликовати у шо?у за кафу ствара?ем удуб?е?а и поступним пове?а?ем, док се рупа скуп?а у дршку.

Истори?а

Кенигзбершки мостови, чувени тополошки проблем.

Грана математике ко?а се данас назива топологи?ом ?е настала изучава?ем одре?ених геометри?ских пита?а. О?леров рад из 1736. о Кенигзбершким мостовима спада ме?у прве тополошке резултате. Израз топологи?а ?е у немачки ?език увео ?охан Бенедикт Листинг 1847, у раду Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, G?ttingen, pp. 67, 1848. Ме?утим, Листинг ?е ве? десет година користио ова? израз у препискама. Модерна топологи?а се у велико? мери заснива на теори?и скупова, ко?у ?е развио Георг Кантор кра?ем деветнаестог века. Кантор ?е, осим што ?е поставио основне иде?е теори?е скупова, тако?е разматрао скупове тачака у Еуклидском простору, у склопу проучава?а Фури?еових редова. Анри Поенкаре ?е 1895. године об?авио к?игу Analysis Situs, у ко?о? ?е увео концепте хомотопи?е и хомологи?е, ко?и се данас сматра?у делом алгебарске топологи?е. Морис Фреше ?е, об?еди?у?у?и рад Кантора, Волтере, Арцеле, Адамара, ?ули?а Асколи?а и других, 1906. увео метрички простор. Метрички простор се данас сматра посебним случа?ем општег тополошког простора. 1914, Феликс Хаусдорф ?е сковао израз тополошки простор и дао дефиници?у за оно шта се данас назива Хаусдорфовим простором. У данаш?ем значе?у, тополошки простор ?е благо уопштава?е Хаусдорфових простора, ко?е ?е 1922. дао Казимир Куратовски.

Дана 14. новембра 1750, О?лер ?е писао при?ате?у да ?е схватио важност ивица полиедра. Ово ?е довело до ?егове формуле полиедра, V ? E + F = 2 (где V, E, и F означава?у бро? врхова, ивица и лица полиедра). Неки ауторитети ову анализу сматра?у првом теори?ом ко?а сигнализира ро?е?е топологи?е.

Да?е доприносе дали су Огистен Лу? Коши, Лудвиг Шлефли, ?охан Бенедикт Листинг, Бернхард Риман и Енрико Бети. Листинг ?е увео термин ?топологи?а“ у делу Vorstudien zur Topologie, написаном на ?еговом матер?ем немачком, 1847. године, након што ?е ту реч користио десет година у преписци пре ?еног првог по?ав?ива?а у штампи. Енглески облик ?topology” ?е кориш?ен 1883. у Листингово? читу?и у часопису Nature да се направи разлика изме?у ?квалитативне геометри?е и обичне геометри?е у ко?о? се углавном третира?у квантитативни односи”.

?ихов рад ?е кориговао, консолидовао и увелико проширио Анри Поенкаре. Године 1895, он ?е об?авио сво? револуционарни рад о Анализи локаци?е, ко?и ?е увео концепте сада познате као хомотопи?а и хомологи?а, ко?и се сада сматра?у делом алгебарске топологи?е.

Тополошке карактеристике затворених 2-многострукости

Многострукост	О?леров бро?	Ори?ентабилност	Бети?еви бро?еви			Коефици?ент торзи?е (1-дим)
			b0	b1	b2
Сфера	2	Ори?ентабилна	1	0	1	нема
Торус	0	Ори?ентабилна	1	2	1	нема
торус са 2 отвора	?2	Ори?ентабилна	1	4	1	нема
торус са g отвора (род g)	2 ? 2g	Ори?ентабилна	1	2g	1	нема
Про?ективна раван	1	Неори?ентабилна	1	0	0	2
Кле?нова боца	0	Non-Неори?ентабилна	1	1	0	2
Сфера са c унакрсним капама (c > 0)	2 ? c	Неори?ентабилна	1	c ? 1	0	2
2-Многострукост са g отвора и c унакрсних капа (c > 0)	2 ? (2g + c)	Неори?ентабилна	1	(2g + c) ? 1	0	2

Модерна топологи?а снажно зависи од иде?а теори?е скупова, ко?е ?е развио Георг Кантор у касни?о? половини 19. века. Поред утвр?ива?а основних иде?а теори?е скупова, Кантор ?е разматрао скупове тачака у Еуклидском простору као део свог проучава?а Фури?еових редова. За да?и разво? погледа?те топологи?у скупа тачака и алгебарску топологи?у.

Абелова награда за 2022. доде?ена ?е Денису Саливану ?за ?егов револуционарни допринос топологи?и у ?еном на?ширем смислу, а посебно ?еним алгебарским, геометри?ским и динамичким аспектима“.

Тополошки простор и топологи?а

Главни чланак: Тополошки простор

Тополошки простор ?е уре?ени пар скупа X и колекци?ом подскупова од X (подскуп партитивног скупа X) у ознаци $\tau$, ко?и задово?ава?у следе?е особине:

1. празан скуп и X налазе се у $\tau$.
2. уни?а свих колекци?а скупова из $\tau$ ?е тако?е скуп у $\tau$.
3. пресек сваке коначне колекци?е скупова из $\tau$ ?е тако?е у $\tau$.

Колекци?а $\tau$ се назива топологи?ом над X. Елементи скупа X се обично назива?у тачкама, мада могу бити произво?ни математички об?екти. Тополошки простор у коме су тачке представ?ене неким функци?ама, назива се функционални или функци?ски простор.

Хомотопи?а

Главни чланак: Хомотопи?а

Шо?а и крофна (торус) су у топологи?и ме?усобно еквивалентне структуре. На слици ?е приказана континуална деформаци?а (хомотопи?а) изме?у ?их.

Хомотопи?а H две непрекидне функци?е f и g ко?е слика?у тополошки простор X у тополошки простор Y ?е непрекидна трансформаци?а H : X × [0,1] → Y тако да ?е за све тачке x из X, важи H(x,0)=f(x) и H(x,1)=g(x).

Види ?ош

• Тополошки простор
• Хомотопи?а

Литература

• Fréchet, Maurice (1906). Sur quelques points du calcul fonctionnel. PhD dissertation. OCLC 8897542. 
• Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. 18. Springer. стр. 204. ISBN 978-0-387-94377-0. 
• Spanier, Edwin (1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 978-0-387-94426-5. 
• Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], ?Chapter XVIII Topology”, Ур.: Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A., Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd изд.), The M.I.T. Press 
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2 
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press 
• Ryszard Engelking (1989). General Topology. Heldermann Verlag. ISBN 978-3-88538-006-1. , Sigma Series in Pure Mathematics. .
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
• Breitenberger, E. (2006). ?Johann Benedict Listing”. Ур.: James, I.M. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5. 
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids * [[John L. Kelley|Kelley, John L.]] (1975). General Topology. [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]. [[Me?unarodni standardni broj knjige|ISBN]] [[Посебно:BookSources/978-0-387-90125-1|978-0-387-90125-1]]. . Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4.  (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
• Wac?aw Sierpiński (2000). General Topology. Dover Publications. ISBN 978-0-486-41148-4. 
• Pickover, Clifford A. (2006). The M?bius Strip: Dr. August M?bius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1.  (Provides a popular introduction to topology and geometry)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd изд.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1 

Спо?аш?е везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). ?Topology, general”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
• Топологи?а на веб-са?ту Curlie (?език: енглески)
• The Topological Zoo Архивирано на веб-са?ту Wayback Machine (4. фебруар 2012) at The Geometry Center.
• Topology Atlas
• Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
• Topology Glossary
• Moscow 1935: Topology moving towards America Архивирано на веб-са?ту Wayback Machine (6. октобар 2006), a historical essay by Hassler Whitney.