国务院关于建立粮食生产功能区和重要农产品...

За другу употребу, погледа?те чланак Бро? (вишезначна одредница).

百度 从此翻脸不理我，不知何故兮由她去罢。

Уре?ени пар реалних бро?ева, означен са $(a,b)$, при чему су $a$ и $b$ реални бро?еви ($a,b\in \mathbb {R}$), назива се комплексан бро?. (Реалан бро? ?е ?прост“, док ?е уре?ени пар ?сложен“, или комплексан, ?ер га сачи?ава?у два бро?а). Скуп свих оваквих парова, односно свих комплексних бро?ева, означавамо са $\mathbb {C}$ и он ?е суштински Декартов производ $\mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {R}$. Уре?ени пар $(a,b)$, као комплексан бро?, запису?е се ?ош као $a+bi$. Притом се елемент $i$ назива имагинарна ?единица, и има сво?ство да ?е $i^{2}=-1$. Имагинарни бро? се у физици често обележава и латиничним словом $j$.

Комплексни бро? може бити визуелно представ?ени као пар бро?ева (a,?b) ко?и формира?у вектор на ди?аграму ко?и се назива Аргандов ди?аграм, чиме се представ?а комплексна раван. ?Re“ ?е реална оса, ?Im“ ?е имагинарна оса, и i ?е имагинарна ?единица ко?а задово?ава i² = ?1.

У скупу комплексних бро?ева могу?е ?е вршити операци?е сабира?а, множе?а и де?е?а и оне се дефинишу на следе?и начин:

$(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\,$ (сабирамо први са првим, други са другим)

$(x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\,$ (до овог резултата ?е лако до?и ако их помножимо у облику $(x_{1}+y_{1}i)\cdot (x_{2}+y_{2}i)$ и запамтимо да ?е $i^{2}=-1$)

${\frac {(x_{1},y_{1})}{(x_{2},y_{2})}}=({\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},{\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}})$ (применимо методу као код множе?а, с тим што израз у имениоцу помножимо са $x_{2}-y_{2}i$)

У комплексном бро?у $z=a+bi$ бро? $a$ се назива реални део и пише се $a=Re(z)$, а бро? $b$ ?е имагинарни део и пише се $b=Im(z)$.

Комплексан бро? чи?и ?е реални део ?еднак нули назива се чисто имагинарни бро?.

Скуп реалних бро?ева може се посматрати као подскуп скупа комплексних бро?ева (кад ?е други члан уре?еног пара, односно коефици?ент уз $i$, ?еднак нули). Иако се комплексним бро?евима не изражава?у количине, као што ?е то случа? с реалним бро?евима, ?ихово уво?е?е се користи у решава?у проблема састав?ених у терминима реалних бро?ева, на пример, проблема о пролазу стру?е кроз проводник, о профилу крила авиона (користе?и функци?е Жуковског), итд.

Ни?е ма?е важна ни примена комплексних бро?ева на чисто математичке проблеме. Тако на пример, за налаже?е корена кубне ?едначине потребне су операци?е с комплексним бро?евима. Истори?ски, комплексни бро?еви су уведени због решава?а квадратних ?едначина. Свака квадратна ?едначина облика $ax^{2}+bx+c=0$ има два реше?а у скупу комплексних бро?ева, док смо у скупу реалних бро?ева наилазили на проблем кад ?е у реше?у облика $x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}})/2a$ израз испод корена био негативан. Уво?е?ем имагинарног бро?а са сво?ством да ?е $i^{2}=-1$, корен поприма облик ${\sqrt {i^{2}|b^{2}-4ac|}}={\sqrt {i^{2}}}{\sqrt {|b^{2}-4ac|}}=i{\sqrt {b^{2}-4ac}}$ и реше?е доби?амо у скупу комплексних бро?ева. Чи?еница да комплексни бро?еви не изражава?у величине дала ?е повод за идеалистичко тумаче?е комплексних бро?ева (Г. Ла?бниц). велика заслуга у смислу матери?алистичког тумаче?а комплексних бро?ева припада Л. О?леру. Комплексни бро? се аксиоматски дефинише као уре?ен пар реалних бро?ева $(a,b)$. Формуле сабира?а, множе?а, де?е?а се постулира?у овако:

$(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,$, $(a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)$, ${\frac {(a,b)}{(x,y)}}=({\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})$.

Пар $(0;1)$ се назива имагинарна ?единица и означава симболом $i$. Из послед?их формула произилази да ?е $i^{2}=-1$. Операци?е са комплексним бро?евима задово?ава?у обичне законе комутативности, дистрибутивности и асоци?ативности (као и у случа?у реалних бро?ева). Ме?утим, операци?е с комплексним бро?евима под радикалима (коренима) донекле се разлику?у од аналогних операци?а с реалним бро?евима. Тако ?е

$-1=i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)(-1)}}=1$.

Дефиници?а

Дефиници?у комплексних бро?ева као уре?ених парова дао ?е Вили?ам Р. Хамилтон, ирски математичар (1805– 1865) Та се дефиници?а теме?и само на особини реалних бро?ева, чиме се изб?егава донекле нераз?аш?ени по?ам бро?а ${\sqrt {-1}}$ .

С друге стране, запис облика $z=x+yi$ погодни?и ?е за рачуна?е.

Оба облика комплексног бро?а

$z=x+yi$ i

$z=(x,y)$ потпуно су еквивалентна.

Скуп комплексних бро?ева $\mathbb {C}$ ?е скуп свих бро?ева облика $z=x+iy$, где су $x,y\in \mathbb {R}$.

Посебно ?е $0=0+i0$.

$x=\mathrm {Re} (z)$ ?е реални део комплексног бро?а $z$,

$y=\mathrm {Im} z$ ?е имагинарни део комплексног бро?а $z$.

Алгебарски облик комплексног бро?а ?е

$z=x+iy$ za $x,y\in \mathbb {R}$

Тригонометри?ски облик комплексног бро?а ?е

$z=r(cos\theta +isin\theta ),r\geq 0,\theta \in \mathbb {R}$

pri ?emu je

$r=\mid z\mid$ модул

$\theta =ARgz$ аргумент

Експоненци?ални облик комплексног бро?а ?е

$z=r^{i\theta }$ za $r\geq 0,\theta \in \mathbb {R}$

при чему ?е

$r=\mid z\mid$ модул

$\theta =ARgz$ аргумент

Два комплексна бро?а су ?еднака ако су им ?еднаки реални и имагинарни делови.

$z_{1}=z_{2}\,\,\leftrightarrow \,\,(\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\,\land \,\operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).$

Ко?уговано комплексни бро? бро?а $z=x+iy$ ?е бро? ${\bar {z}}=x-iy$.

Модул или апсолутна вредност комплексног бро?а $z$ ?е ненегативни реални бро? $r=\vert z\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

Особине сабира?а комплексних бро?ева

$(z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$ za $\forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ комутативност сабира?а

$z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ асоци?ативност сабира?а

$\exists 0\in \mathbb {C} z+0=z$ za $\forall z\in \mathbb {C}$ неутрални елемент 0(nula) за сабира?е

Комплексни бро? $0=(0,0)=0+0i$

$(\forall z\in \mathbb {C} )(\exists (-z)\in \mathbb {C} z+(-z)=0$ посто?а?е инверзног елемента.

Комплексни бро? $-z=(-x,-y)=-x-yi$

Особине множе?а комплексних бро?ева

$(z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}$ za $\forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ комутативност множе?а

$z_{1}*(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3}$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ асоци?ативност множе?а

$\exists 1\in \mathbb {C} z*1=z$ za $\forall z\in \mathbb {C}$ неутрални елемент $1$ за множе?е

$\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)(\exists z'\in \mathbb {C} z*(-z)=1$ посто?а?е реципрочног елемента

$z_{1}*(z_{2}+z_{3})=z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ дистрибутивност множе?а у односу на сабира?е

Реалан производ два комплексна бро?а

У скупу комплексних бро?ева скаларном производу вектора одговара по?ам реалног производа комплексних бро?ева ко?и ?е скаларни производ вектора ко?и су одре?ени комплексним бро?евима ко?и се множе.

Дефиници?а

Реалан производ комплексних бро?ева $a$ i $b$, у ознаци $a\circ b$, ?е реалан бро? одре?ен као

$a\circ b={\frac {1}{2}}({\overline {a}}b+a{\overline {b}})$

Нека су A и B тачке одре?ене комплексним бро?евима $a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )$ i$b=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )$ Лако ?е проверити да ?е

$a\circ b=\mid a\mid \mid b\mid (cos\varphi +isin\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid cos{\widehat {AOB}}$

Особине реалног производа два комплексна бро?а

1. $a\circ a=\mid a\mid ^{2}$
2. $a\circ b=b\circ a$
3. ${\overline {a\circ b}}=a\circ b$
4. $(\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)$
5. $(az))bz)=\mid z\mid ^{2}(a\circ b)$
6. $a\circ b=0<=>OA\perp OB$ (за тачке A и B комплексне равни одре?ене комплексним бро?евима $a$ и $b$)

Реалан производ комплексних бро?ева $a$ и $b$ ?еднак ?е потенци?и координатног почетка $O$ комплексне равни у односу на круг чи?и ?е пречник $AB$, где су $A$ и $B$ тачке комплексне равни одре?ене комплексним бро?евима $a$ Q $b$.

Тачка $M$ ?е средина дужи AB одре?ена комплексним бро?ем ${\frac {a+b}{2}}$, потенци?а тачке $O$ у односу на круг са средиштем у тачки $M$ и полупречником

$r={\frac {a-b}{2}}={\frac {\mid a-b\mid }{2}}$ ?еднака ?е

$OM^{2}-r^{2}=\mid {\frac {a+b}{2}}\mid -\mid {\frac {a-b}{2}}\mid ={\frac {(a+b)({\overline {a}}+{\overline {b}}}{4}}-{\frac {(a-b)({\overline {a}}-{\overline {b}})}{4}}=a\circ b$

Нека су тачке $A$,$B$,$C$,$D$ тачке комплексне равни одре?ене комплексним бро?евима $a$, $b$, $c$, $d$. Тада су следе?а твр?е?а еквивалентна:

1. $AB\perp CD$
2. $(a+b)\circ (c+d)=0$
3. ${\frac {b-a}{d-c}}\in i\mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$
4. $Re({\frac {b-a}{d-c}})=0$

Средиште кружнице описане око троугла $ABC$ налази се у координатном почетку комплексне равни. Ако су темена $A$, $B$, $C$ троугла $ABC$ одре?ена комплексним бро?евима $a$, $b$, $c$ респективно, тада ?е ортоцентар $H$ тог троугла одре?ен комплексним бро?ем $h=a+b+c$.

Комплексан производ два комплексна бро?а

Комплексан производ два комплексна бро?а ?е аналоган векторском производу вектора.

Дефиници?а

Комплексан бро?

$a\times b={\frac {{\overline {a}}b-a{\overline {b}}}{2}}$ називамо комплексним производом комплексних бро?ева $a$ и $b$.

Нека су $A$ и $B$ тачке одре?ене комплексним бро?евима $a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )$ и $a=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )$ Лако ?е пров?ерити да ?е

$\mid a\times b\mid =\mid a\mid \mid b\mid sin(\varphi -\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid sin{\widehat {AOB}}=2P_{AOB}$

Нека су $a$, $b$, $c$ комплексни бро?еви. Тада комплексан производ два комплексна бро?а има следе?е особине

1. ${\overline {a\times b}}=-a\times b$
2. $a\times b=0<=>a=0\lor b=0\lor a=\lambda b$ gdje je $\lambda \in \mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$
3. $a\times b=-b\times a$
4. $\alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)$ ( $\forall \alpha \in \mathbb {R}$ )

Ако су $A(a)$ и $B(b)$ две различите тачке различите од $O(0)$, тада ?е $a\times b=0$ onda i samo onda ako su $O$, $A$,$B$ колинеарне тачке.

Нека су $A(a$) и $B(b$) две различите тачке у комплексно? равни различите од координатног почетка. Комплексан производ бро?ева $a$ и $b$ има следе?и геометри?ски смисао

$a\times b={\begin{cases}2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ pozitivno\ orijentisan\\-2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ negativno\ orijentisan\end{cases}}$ Нека су $A(a)$, $B(b)$ и $C(c)$ три различите тачке у комплексно? равни.

Тада ?е

$P_{ABC}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ pozitivno\ orijentisan\\{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ negativno\ orijentisan\end{cases}}$

Нека су $A(a)$, $B(b)$ и $C(c)$ три различите тачке у комплексно? равни.

Тада су следе?а твр?е?а еквивалентна

1. Тачке $A$,$B$,$C$ су колинеарне
2. $(b-a)\times (c-a)=0$
3. $a\times b+b\times c+c\times a=0$

Нека су $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ и $D(d)$ четири тачке од ко?их ни ?една група од три нису колинеарне. Тада ?е $AB\parallel CD$ онда и само онда ако ?е $(b-a)\times (d-c)=0$

Де?е?е комплексних бро?ева

$\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\cdot {\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\quad {\textrm {za}}\quad z_{2}\neq 0$

У сваком скупу бро?ева де?е?е се дефинише као множе?е инверзним елементом. Уверимо се да за

$\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)\exists z'\in \mathbb {C}$

Нека ?е $z=x+yi\neq 0$ bilo koji. Onda je $x^{2}+y^{2}\neq 0$ па ?е добро дефинисан бро?

$z'={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i$

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.$

имамо

$z'*z=z*z'=1$

$z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}$

Ко?уговано комплексни бро?еви

Ко?уговано комплексни бро?еви

Комплексан бро? ${\overline {z}}\ =x-yi=r^{-i\theta }$ називамо ко?угованим бро?ем $z=x+yi=r^{i\theta }$.

Бро?еви $z$ i ${\overline {z}}$ чине пар ко?угованих бро?ева. ?иховим сабира?ем и одузима?ем доби?амо

$Rez={\frac {1}{2}}(z+{\overline {z}})$

$Imz={\frac {1}{2i}}(z-{\overline {z}})$

Лако се проверава да вреди

1. ${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$
2. ${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$
3. ${\overline {z_{1}*z_{2}}}={\overline {z_{1}}}*{\overline {z_{2}}}$
4. ${\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{1}}}}$

Neka je $z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta$ тригонометри?ски облик комплексног бро?а. Тада ?е

$z^{2}=z*z$

$z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta$

$z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta$

$z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta$

На ова? начин доби?амо општи облик Де Моавровог теорема ко?и има важну улогу у електротехници

$z^{n}=r^{n}\ cisn\theta$ Q

$(cos\theta +isin\theta )^{n}=cosn\theta +isinn\theta (n\in Z)$

Степенова?е комплексног бро?а

$z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta )=r^{n}e^{in\theta }$ za $n\in N$.

$z^{m}z^{n}=z^{m+n}$

$(z_{1}z_{2})^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}$

$(z^{m})^{n}=z^{mn}$

Коренова?е комплексног бро?а

${\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}$ за $n\in N$

где ?е

$u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(cos{\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{\frac {\theta +2k\pi }{n}})$ za $k=0,1...(n-1)$

$u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}$ za $k=0,1...(n-1)$

Квадратни корен имагинарног бро?а

${\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

Ова? резултат можемо добити на следе?и начин

$i=(a+bi)^{2}\!$

$i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!$

Доби?амо две ?едначине

${\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}$

чи?а су реше?а

$a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Избор главног корена да?е

$a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Резултат можемо добити помо?у Моаврове формуле

$i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)$

${\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}$

Апсолутна вредност аргумента

Апсолутна вредност (или модул или величине) комплексног бро?а $z=x+yi$ je

$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

Квадрат апсолутне вредности ?е

$\textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,$

$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}$

Множе?е и де?е?е у поларном облику

Из тригонометри?ских идентитета

$\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)$

$\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)$

имамо

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,$

Пример

$(2+i)(3+i)=5+5i.\,$

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

Де?е?е

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).$

Тригонометри?ски облик

Понекад ?е комплексне бро?еве погодно писати у тригонометри?ском облику:

$a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,$,

$\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}$, за $a>0\,$ и $\phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}$ за $a<0\,$; када ?е $a=0$ онда ?е $\phi ={\frac {\pi }{2}}$, ако ?е $b>0$ и $\phi =-{\frac {\pi }{2}}$, ako je $b<0$. Бро? $\rho \,$ се назива модуо комплексног бро?а, а $\phi \,$ ?е аргумент комплексног бро?а.

Множити комплексне бро?еве ?е веома погодно баш у овом облику.

У множе?у комплексних бро?ева множе се ?ихови модули, а аргументи се сабира?у. $r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2}))\,$.

слично ?е и за де?е?е. ${\frac {r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})}{r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\phi _{1}-\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}-\phi _{2}))\,$.

Из овог правила произлази Моаврова формула:

$(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,$ .

Комплексни бро?еви се често представ?а?у векторима у комплексно? равни (слика доле). Геометри?ски смисао бро?ева $a,b,\rho ,\phi$ види се на цртежу. У сабира?у комплексних бро?ева ?ихови вектори се сабира?у по правилу паралелограма.

Комплексна раван

Дужина вектора $\rho$ ?е модуо, или модул комплексног бро?а, а као што се види на гор?о? слици, може се добити помо?у Питагорине теореме. Модул, интензитет комплексног бро?а често означавамо као апсолутну вредност, т?. уда?еност бро?а од исходишта координатног система: $|z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Комплексни бро?еви у тригонометри?ском облику су уско повезани с експоненци?алном функци?ом имагинарног аргумента. Важи следе?а О?лерова формула:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,$;

помо?у ?е се дефинише степенова?е комплексних бро?ева, логаритам комплексног бро?а и др.

Комплексни бро?еви образу?у алгебарско затворено по?е. По?е комплексних бро?ева ?е прошире?е по?а реалних бро?ева придружива?ем овом по?у елемента $i$, таквог да ?е $i^{2}=-1$.

Множе?е

Множе?е комплексних бро?ева у тригонометри?ском облику ?е слично множе?у комплексних бро?ева у стандардном облику.

Нека су задани комплексни бро?еви

$z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})$ i $z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})$

онда ?е

$z_{1}z_{2}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})=$

$r_{1}r_{2}(cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}+icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}+i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})=$

$r_{1}r_{2}((cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})+i(cos\varphi _{1}sin\varphi _{2}cos\varphi _{2}sin\varphi _{1}))=$

$r_{1}r_{2}(cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}+\varphi _{2}))$

Де?е?е

Нека су задати комплексни бро?еви

$z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})$ i $z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})$

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}*{\frac {(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}{(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}}$

${\frac {r_{1}}{r_{2}}}*{\frac {cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}-i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2}}{cos^{2}\varphi _{2}+sin^{2}\varphi _{2}}}$

${\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cis(\varphi _{1}-\varphi _{2})$

Де Моаврова формула

Нека ?е

$z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta$ тригонометри?ски облик комплексног бро?а. Тада ?е

$z^{2}=z*z$

$z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta$

$z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta$

$z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta$

На ова? начин доби?амо општи облик Де Моаврове теореме ко?и има важну улогу у електротехници

$(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,$

Поларни облик

Главни чланак: Поларни координатни систем

Аргумент φ и модуо r лоцира?у тачку на Аргандовом ди?аграму; $r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ или $re^{i\varphi }$ су поларни изрази за тачку.

Апсолутна вредност и аргумент

?едан алтернативни начин дефиниса?а тачке P у комплексно? равни, осим кориш?е?а x- и y- координата, ?е употреба расто?а?а тачака од O, тачке чи?е су координате (0,?0) (координатни почетак), за?едно са углом изме?у позитивне реалне осе и лини?ског сегмента OP у смеру наупрот крета?а каза?ки на сату. Ова иде?а производи поларни облик комплексних бро?ева.

Апсолутна вредност (или модуо или магнитуда) комплексног бро?а z = x + yi ?е

$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

Ако ?е z реални бро? (нпр., y = 0), онда ?е r = |?x?|. Генерално, по Питагорино? теореми, r ?е расто?а?е од тачке P ко?а представ?а комплексни бро? z до координатног почетка. Квадрат апсолутне вредности ?е

$\textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,$

где ?е ${\bar {z}}$ комплексно кон?уговани бро? од $z$.

Аргумент z (ко?и се у многим применама назива ?фазом“) ?е угао полупречника OP са позитивном реалном осом, и пише се као $\arg(z)$. Као и код модула, аргумент се може одредити из правоугаоног облика $x+yi$:

$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}$

 – ако ?е z реално, φ = 0 или π. Главни корени су приказани црном бо?ом.

Нормално, као што ?е дато горе, главна вредност се разматра на интервалу (?π,π]. Вредности у опсегу [0,2π) се доби?а?у додава?ем 2π ако ?е вредност негативна. Вредност φ се изражава у ради?анима угла. Она може да буде пове?ана за целобро?ни умножак од 2π и да се ?ош увек односи на исти угао. Стога се arg функци?а понекад сматра мултивредносном. Поларни угао комплексног бро?а 0 ?е неодре?ен, мада се арбитрарни избор угла 0 често прави.

Вредност φ ?е ?еднака резултату atan2:

$\varphi ={\mbox{atan2}}\left(\operatorname {Im} (z),\operatorname {Re} (z)\right).$

За?едно, r и φ да?у ?едан додатни начин приказива?а комплексних бро?ева, поларни облик, пошто комбинаци?а модула и аргумента у потпуности специфицира?у позици?у тачке у равни. Оригиналне правоугаоне координате се могу извести из поларних применом формула званих тригонометри?ска форма

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).\,$

Користе?и О?лерову формулу ово се може записати као

$z=re^{i\varphi }.\,$

Користе?и cis функци?у, та? израз се понекад скра?у?е на

$z=r\operatorname {cis} \varphi .\,$

У угаоно? нотаци?и, ко?и асе често користи у електроници за приказива?е вектора са амплитудом r и фазом φ, то се може записати као

$z=r\angle \varphi .\,$

Множе?е и де?е?е у поларном облику

Множе?е 2 + i (плави троугао) и 3 + i (црвени троугао). Црвени троугао се ротира да се поклопи са на?вишом тачком плавог и прошири се за √5, дужину хипотенузе плавог троугла.

Формуле за множе?е, де?е?е и степенова?е су ?едноставни?е у поларном облику него кореспондира?у?е формуле у Картези?анским координатама. За два дата комплексна бро?а z₁ = r₁(cos?φ₁ + i?sin?φ₁) и z₂ = r₂(cos?φ₂ + i?sin?φ₂), због добро познатих тригонометри?ских релаци?а

$\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)$

$\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)$

се може извести

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,$

Другим речима, апсолутне вредности се множе а аргументи се дода?у чиме се доби?а поларни облик производа. На пример, множе?е са i ?е истоветно са заокретом за четвртину круга у смеру супротном крета?у каза?ки на сату, чиме се производи i² = ?1. Слика на десно? страни илустру?е множе?е

$(2+i)(3+i)=5+5i.\,$

Пошто су реални и имагинарни део бро?а 5 + 5i ?еднаки, аргумент тог бро?а ?е 45 степени, или π/4 (у ради?анима). С друге стране, то ?е исто тако сума углова у координатном почетку црвеног и плавог троугла, ко?и су arctan(1/3) и arctan(1/2). Стога формула

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

важи. Пошто се arctan функци?а може веома ефикасно апроксимирати, формуле попут ове —познате као формуле сличне Машиновим — се користе за апроксимаци?е високе прецизности вредности π.

Слично томе, де?е?е ?е дато изразима

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).$

Матрични облик

$(a+ib):={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}$

У матричном облику сабира?е, одузима?е и множе?е радимо тако што сабирамо, одузимамо и множимо одговара?у?е матрице ко?е представ?а?у комплексан бро?.

Реципрочну вредност у овом запису рачунамо траже?ем инверзне матрице. Де?е?е дефинишемо као множе?е реципрочном вреднош?у.

Литература

• McKeague, Charles P. (2011). Elementary Algebra. Brooks/Cole. стр. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9. 
• Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). ?Chapter P”. College Algebra and Trigonometry (6 изд.). Cengage Learning. стр. 66. ISBN 978-0-618-82515-8. 
• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6. 
• Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6. 
• Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). ?Section 5.5 Complex Arithmetic”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивирано из оригинала 13. 03. 2020. г. Приступ?ено 06. 04. 2017. 
• Solomentsev, E.D. (2001). ?Complex number”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd изд.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9. 
• Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2. 
• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1. 
• H.D. Ebbinghaus; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover изд.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. 
• The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. 2005. ISBN 978-0-679-45443-4. . by Roger Penrose; Alfred A. Knopf. Chapters 4–7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.
• Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra. ISBN 978-0-309-09657-7. . by John Derbyshire; Joseph Henry Press. (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.
• Visual Complex Analysis. ISBN 978-0-19-853447-1. . by Tristan Needham; Clarendon Press. (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.
• Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I. (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 2 edition (12 September 2005). ISBN 978-0-387-90328-6. -

Спо?аш?е везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). ?Complex number”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Introduction to Complex Numbers from Khan Academy
• Imaginary Numbers on In Our Time at the BBC.
• Euler's Investigations on the Roots of Equations at Convergence. MAA Mathematical Sciences Digital Library.
• John and Betty's Journey Through Complex Numbers
• The Origin of Complex Numbers by John H. Mathews and Russell W. Howell
• Dimensions: a math film. Chapter 5 presents an introduction to complex arithmetic and stereographic projection. Chapter 6 discusses transformations of the complex plane, Julia sets, and the Mandelbrot set.